Par Jeep le mardi 28 février 2012, 15:18

Mise en ligne de l'article d'André Eberhard V1 - Mars 2012
http://signalencimes.free.fr/dotclear/

1 - Preambule

La Transformée de Fourier (pour un signal quelconque) et les Séries de Fourier (pour un signal périodique) ont longtemps été les outils essentiels de l’Analyse Harmonique. Une propriété fondamentale explique cette utilisation :
Le produit de convolution est transformé en produit direct et réciproquement

Même si le mot signal peut désigner n’importe quelle fonction définie sur l'ensemble des nombres Réels et à valeurs dans l'ensemble des nombres Complexes, nous l’employons le plus souvent ici pour nommer une grandeur réelle variant en fonction du temps, l’analyse de Fourier donnant des informations sur son contenu en fréquence.

L’apparition des ordinateurs a entraîné la nécessité d’échantillonner les signaux pour les traiter numériquement, et l’utilisation d’une Transformée de Fourier Discrète ou TFD (en anglais Discret Fourier Transform ou DFT) s’est répandue.

En 1965, Cooley J.W. et Tukey J.W. proposent un algorithme connu sous le nom de FFT (Fast Fourier Transform, Transformation de Fourier Rapide) afin de minimiser le temps nécessaire pour effectuer cette opération. Cette date marque une très forte accélération dans le développement du traitement du signal sur ordinateur. Il s’en est d’ailleurs suivi une confusion entre FFT et Transformée de Fourier Discrète. Rappelons que la FFT n’est qu’un moyen (très efficace) d’effectuer une TFD.

Cependant, pour l’essentiel, les raisonnements continuent à se faire en utilisant les propriétés du continu, le passage au discret ne s’effectuant qu’au moment des calculs, avec retour immédiat au continu pour l’exploitation des résultats.

Le document présent développe la théorie de la Transformée de Fourier Discrète en tant que telle, et montre que les principales propriétés du continu ont leurs équivalents en discret.